連續和一致連續是不同的概念。連續函數是一種較弱的性質，只要求在每個點上都連續，而一致連續函數則是一種較強的性質，要求在整個定義域上都連續。
連續和一致連續的區別
一致連續（uniformcontinuity）和連續（continuity）是數學中兩個相關但有區別的概念。
連續是指函數在某個區間內的每一點都存在極限，並且函數在該區間內沒有跳躍或斷裂。簡而言之，連續函數在局部上沒有間斷的部分。數學上，如果對於函數f（x）和給定的x值，在x的領域內，對於任意給定的epsilon（ε），存在delta（δ），使得在距離x不超過delta（|x-y|≤δ）的所有y值上，f（y）和f（x）之間的差值不超過epsilon（|f（y）-f（x）|≤ε），那麼函數f（x）在x處是連續的。
一致連續是連續的加強版，它在連續的基礎上要求函數的整個定義域上都具有一致的性質。簡而言之，一致連續函數在整個定義域上不存在局部間斷的部分。數學上，如果對於函數f（x），存在一箇delta（δ），使得對於定義域上的任意x和y值，在距離不超過delta的所有點對（x,y），都有|f（y）-f（x）|≤ε，那麼函數f（x）可以稱爲一致連續。
總結起來，連續性表達的是函數在每個點上的無間斷性，而一致連續性則表達的是函數在整個定義域上的無間斷性。
連續和一致連續的區別主要有三點：
1.範圍不同：連續是局部性質，一般只對單點，而一致連續是整體性質，要對定義域上的某個子集。
2.連續性不同：一致連續的函數必連續，連續的未必一致連續。如果一箇函數具有一致連續性則一定具有連續性，而函數具有連續性並不一定具有一致連續性。
3.圖像區別：閉區間上連續的函數必一致連續，所以在閉區間上來講二者是一致的；在開區間連續的未必一致連續，一致連續的函數圖像不存在上升或者下降的坡度無限變陡的情況，連續的卻有可能出現，比如在（0,1）上連續的函數y=1/x。
一致連續函數一定連續嗎
一致連續函數不一定連續。
首先，我們需要明確什麼是一致連續函數。一致連續函數是指對於任意給定的正數ε，存在一箇正數δ，使得只要函數f（x）在區間[a,b]上的任意兩點之間的距離小於δ，那麼這兩點之間的函數值之差就小於ε。
接下來，我們證明一致連續函數不一定連續。
假設函數f（x）在區間[a,b]上是一致連續的，但是不連續。那麼在區間[a,b]上一定存在一箇點c，使得f（c）不存在或者f（c）不等於函數值。
現在，我們取一箇足夠小的正數ε，使得2ε小於函數在點c處的不連續性。也就是說，存在一箇正數δ，使得只要x和c之間的距離小於δ，那麼f（x）和f（c）之間的差值就大於ε。
但是，由於f（x）在區間[a,b]上是一致連續的，存在一箇正數η，使得只要x和c之間的距離小於η，那麼f（x）和f（c）之間的差值就小於ε。
這就產生了矛盾，因爲我們已經找到了一箇正數δ滿足條件，但是這個條件與f（x）在區間[a,b]上的一致連續性矛盾。因此，假設不成立，一致連續函數一定是連續的。
綜上所述，一致連續函數不一定連續。
一致連續一定可導嗎
一致連續的函數未必可導。
連續的函數不一定可導；可導的函數是連續的函數；越是高階可導函數曲線越是光滑；存在處處連續但處處不可導的函數。
左導數和右導數存在且“相等”，纔是函數在該點可導的充要條件，不是左極限=右極限（左右極限都存在）。連續是函數的取值，可導是函數的變化率，當然可導是更高一箇層次。
導數也叫導函數值：
當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一箇增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨於0時的極限a如果存在，a即爲在x0處的導數，記作f'（x0）或df（x0）/dx。
導數是函數的局部性質。一箇函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。
導數的本質是通過極限的概唸對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對於時間的導數就是物體的瞬時速度。
不是所有的函數都有導數，一箇函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱爲不可導。然而，可導的函數一定連續；不連續的函數一定不可導。
對於可導的函數f（x），x?f'（x）也是一箇函數，稱作f（x）的導函數（簡稱導數）。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱爲求導。實質上，求導就是一箇求極限的過程，導數的四則運算法則也來源於極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最爲基礎的概念。
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